已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在半徑為1的球面上,且AB=1,BC=
3
.若A、C兩點(diǎn)的球面距離為
π
2
,則球心O到平面ABC的距離為(  )
A、
1
4
B、
2
2
C、
1
2
D、
3
2
分析:先求得AC的長(zhǎng),由AB=1,BC=
3
,AC=
2
,我們易判斷出△ABC為以A為直角的直角三角形,根據(jù)直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半,我們可以求出截面的半徑,再根據(jù)球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形,滿足勾股定理,我們易得球心O到平面ABC的距離.
解答:解:∵A、C兩點(diǎn)的球面距離為
π
2
,
∴AC=
2

∵AB=1,BC=
3
,AC=
2
,
∴△ABC為以A為直角的直角三角形
∴平面ABC截球得到的截面圓半徑r=
1
2
BC=
3
2

∴球心O到平面ABC的距離d=
R2-r2
=
1
2

故選C.
點(diǎn)評(píng):若球的截面圓半徑為r,球心距為d,球半徑為R,則球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形,滿足勾股定理,即R2=r2+d2
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已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上,若∠BAC=90°,AB=AC=2,球心O到平面ABC的距離為1,則該球的半徑為
3
3

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(1)求Γ的焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn),且∠BAC=
π
2
,點(diǎn)M在BC上,且
AM
BC
= 0
,求點(diǎn)M的軌跡方程;
(3)試研究:是否存在一條邊所在直線的斜率為
2
的正三角形ABC,若存在,求出這個(gè)正三角形ABC的邊長(zhǎng),若不存在,說(shuō)明理由.

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