Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1（a為常數(shù)），曲線y=f（x）在與y軸的交點A處的切線斜率為﹣1．
（1）求a的值及函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x1＜ln2，x2＞ln2，且f（x1）=f（x2），證明：x1+x2＜2ln2．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣ax﹣1，得f′（x）=ex﹣a．

又f′（0）=1﹣a=﹣1，

∴a=2．

∴f（x）=ex﹣2x﹣1，f′（x）=ex﹣2．

由f'（x）=ex﹣2＞0，得x＞ln2．

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，

（2）解：證明：設(shè)x＞ln2，

∴2ln2﹣x＜ln2，

∴f（2ln2﹣x）=e2ln2﹣x﹣2（2ln2﹣x）﹣1= +2x﹣2ln2﹣1，

令g（x）=f（x）﹣f（2ln2﹣x）= ﹣4x+4ln2，（x＞ln2），

∴g′（x）=ex+4e﹣x﹣4≥0，當且僅當x=ln2時，等號成立，

∴g（x）在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，

又g（ln2）=0，

∴當x＞ln2時，g（x）=f（x）﹣f（2ln2﹣x）＞g（ln2）=0，

即f（x）＞f（2ln2﹣x），

∴f（x2）＞f（2ln2﹣x2），

又f（x1）=f（x2），

∴f（x1）＞f（2ln2﹣x2），

由于x2＞ln2，

∴2ln2﹣x2＜ln2，

∵x1＜ln2，

由（Ⅰ）函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，

∴x1＜2ln2﹣x2，

即x1+x2＜2ln2

【解析】（1）求出函數(shù)的f′（x）=ex﹣a．通過f′（x）=ex﹣2＞0，即可求解函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．（2）設(shè)x＞ln2，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣f（2ln2﹣x），分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及x1＜ln2，x2＞ln2，且f（x1）=f（x2）即可證明．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．