Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x+3lnx（a為常數(shù)），其圖象是曲線C．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀，則稱x₀為函數(shù)f（x）的“等值點(diǎn)”．已知函數(shù)f（x）存在兩個(gè)“等值點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=

9

2

時(shí)，已知點(diǎn)A（x₀，y₀）為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)A處的切線l₁交y軸于點(diǎn)E，設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），其圖象是曲線C′，曲線C′在點(diǎn)A′（x₀，y₀′）處的切線l₂交y軸于點(diǎn)F，試求線段EF的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-x²+x+3lnx，通過求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）由f（x₀）=x₀，得ax02+x₀+3lnx₀=x₀得a=-

3lnx0

x02

，令g（x）=a，當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值，即為函數(shù)g（x）的最小值，從而求出函數(shù)的范圍．
（3）把a(bǔ)=

9

2

，函數(shù)的表達(dá)式，求出曲線C的方程，表示出|EF|的長，從而求出最小值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-x²+x+3lnx，
則f′x）=-2x+1+

3

x

，
令f′（x）=-2x+1+

3

x

=

-2x2+x+3

x

＞0
∵x＞0，
∴0＜x＜

3

2

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，

3

2

）
（2）由f（x₀）=x₀，
得ax02+x₀+3lnx₀=x₀
∴ax02+3lnx₀=0，
得a=-

3lnx0

x02

，
令g（x）=-

3lnx

x2

，
則g′（x）=-

3x(1-lnx)

x4

，
由g′（x）＞0，得0＜a＜e
由g′（x）＜0，得x＞e
∴，當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值，
即為函數(shù)g（x）的最小值，g（e）=-

3

e2

         
∵當(dāng)x＞0且趨向于無窮大時(shí)，g（x）＜0
∴-

3

e2

＜a＜0
（3）當(dāng)a=

9

2

時(shí)，f（x）=

9

2

x²+x+3lnx，
則f′（x）=9x+1+

3

x

曲線c在點(diǎn)A（x₀，y₀）處的切線l₁為：y-y₀=（9x₀+1+

3

x0

）（x-x₀）
當(dāng)x=0時(shí)，y=-9x02-x₀-3+y₀=-

9

2

x02+3lnx₀-3，
即E（0，-

9

2

x02+3lnx₀-3），
令g（x）=9x+1+

3

x

，
則g′（x）=9-

3

x2

曲線c在點(diǎn)A（x₀，y0′）處的切線l₂為：
y-y0′=（9-

3

x02

）（x-x₀），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-9x₀+

3

x0

+y0′=

6

x0

+1，
即F（0，

6

x0

+1），
∴EF=|

9

2

x02+

6

x0

-3lnx₀+4|，x₀＞0
令h（x）=

9

2

x²+

6

x

-3lnx+4，（x＞0），
則h′（x）=9x-

6

x2

-

3

x

=

3(x-1)(3x2+3x+2)

x2

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）為增函數(shù)；
∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得極小值即為最小值h（1）=

29

2

所以，線段EF的最小值為

29

2

．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，求切線方程，是一道綜合題．