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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與雙曲線
x2
3
-y2=1共焦點，點A(3，
7
)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點Q（0，2），P為橢圓C上的動點，點M滿足：
QM
=
MP
，求動點M的軌跡方程．
分析：（1）根據橢圓與雙曲線公焦點，可知橢圓的焦點坐標，利用點A(3，
7
)在橢圓C上，根據橢圓的定義，我們可以求出a的值，根據焦點坐標，利用b2=a2-c2，可以求出b2，從而可求橢圓C的方程；
（2）利用點M滿足：
QM
=
MP
，可得動點M與動點P之間的坐標關系，利用點P滿足橢圓方程，我們可以求出動點M的軌跡方程．
解答：解：（1）由已知得雙曲線焦點坐標為F1（-2，0），F2（2，0），
由橢圓的定義得|AF1|+|AF2|=2a，∴
25+7
+
1+7
=2a，∴a=3
2

而c2=4，∴b2=a2-c2=18-4=14
∴所求橢圓方程為
x2
18
+
y2
14
=1
（2）設M（x，y），P（x0，y0），由
QM
=
MP
得（x，y-2）=（x0-x，y0-y）
∴
x0=2x
y0=2y-2
而P（x0，y0）在橢圓
x2
18
+
y2
14
=1上
即
(2x)2
18
+
(2y-2)2
14
=1
即
2x2
9
+
2(y-1)2
7
=1為所求M的軌跡方程．
點評：本題的考點是橢圓的標準方程，考查待定系數法求橢圓的標準方程，考查代入法求軌跡方程，解題的關鍵是利用向量關系，尋求動點之間的坐標關系．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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