設(shè)f(x)=2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′(x),若函數(shù)y=f'(x)的圖象關(guān)于直線x=-
1
2
對稱,且f′(1)=0.
(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)若對于任意實數(shù)x,
1
6
f′(x)+m>0
恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(Ⅰ)先對f(x)求導(dǎo),f(x)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù),由對稱性可求得a,再由f′(1)=0即可求出b
(Ⅱ)對于任意實數(shù)x,
1
6
f′(x)+m>0
恒成立,等價于對于任意實數(shù)x,x2+x+m-2>0恒成立,由此可求實數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=2x3+ax2+bx+1,∴f′(x)=6x2+2ax+b
∵函數(shù)y=f'(x)的圖象關(guān)于直線x=-
1
2
對稱,
-
a
6
=-
1
2

∴a=3
又由于f′(1)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12
∴a=3,b=-12;
(Ⅱ)∵對于任意實數(shù)x,
1
6
f′(x)+m>0
恒成立
即對于任意實數(shù)x,x2+x+m-2>0恒成立     
∴△=1-4(m-2)<0,
解得m>
9
4

∴實數(shù)m的取值范圍是(
9
4
,+∞)
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查二次函數(shù)的對稱性,考查恒成立問題,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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12
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