Question

設函數f（x）=sinx-cosx+x+1，0＜x＜2π，求函數f（x）的單調區(qū)間與極值．

Answer 1

分析：對函數f（x）=sinx-cosx+x+1求導，對導函數用輔助角公式變形，利用導數等于0得極值點，通過列表的方法考查極值點的兩側導數的正負，判斷區(qū)間的單調性，求極值．

解答：解：由f（x）=sinx-cosx+x+1，0＜x＜2π，知f'（x）=1+

2

sin（x+

π

4

）．
令f'（x）=0，從而可得sin（x+

π

4

）=-

2

2

，得x=π，或x=

3π

2

，
當x變化時，f'（x），f（x）變化情況如下表：

x	（0，π）	π	（π， 3π 2 ）	3π 2	（ 3π 2 ，2π）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增↑	π+2	單調遞減↓	3π 2	單調遞增↑

因此，由上表知f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，π）與（

3π

2

，2π），
單調遞減區(qū)間是（π，

3π

2

），極小值為f(

3π

2

)=

3π

2

，極大值為f（π）=π+2

點評：本題考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性與極值的方法，考查綜合應用數學知識解決問題的能力．對于函數解答題，一般情況下都是利用導數來研究單調性或極值，利用導數為0得可能的極值點，通過列表得每個區(qū)間導數的正負判斷函數的單調性，進而得出極值點．