Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱垂直底邊ABCD四棱柱，AA₁=2，E是側(cè)棱AA₁的中點，求
（1）求異面直線BD與B₁E所成角的大小；
（2）求四面體AB₁D₁C的體積．

Answer 1

分析：（1）連接B₁D₁、D₁E，可得平行四邊形BB₁D₁D中，B₁D₁∥BD，所以∠EB₁D₁或其補角就是異面直線BD與B₁E所成角．再由已知條件算出△B₁D₁E是等邊三角形同，從而可得異面直線BD與B₁E所成角的大小為60°；
（2）算出正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁位于B、A₁、C₁、D四個角上的全等的三棱錐的體積，再用正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積減去這四個三棱錐體積，即可得到四面體AB₁D₁C的體積．

解答：解：（1）連接B₁D₁、D₁E，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁B∥D₁D且B₁B=D₁D
∴四邊形BB₁D₁D是平等四邊形
因此B₁D₁∥BD，可得∠EB₁D₁或其補角就是異面直線BD與B₁E所成角
∵AA₁=2AB=2，∴B₁D₁=ED₁=B₁E=

2

，得△B₁D₁E是等邊三角形，∠EB₁D₁=60°
由此可得，異面直線BD與B₁E所成角的大小為60°；
（2）根據(jù)題意，得V正四棱柱ABCD-A1B1C1D1=S_{正方形ABCD}×AA₁=2
∵V三棱錐B-ACB1=V三棱錐 A1-AB1D1=V三棱錐 C1-CB1D1=V三棱錐 D -AC D1=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

∴四面體AB₁D₁C的體積為
V=V正四棱柱ABCD-A1B1C1D1-（V三棱錐 B -AC B1+V三棱錐 A1-AB1D1
+V三棱錐 C1-CB1D1+V三棱錐 D -AC D1）=2-

4

3

=

2

3

點評：本題在正四棱柱中求異面直線所成角，并求四面體的體積，著重考查了正棱柱的性質(zhì)、異面直線所成角和體積的求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．