Question

（2013•懷化三模）過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0的左焦點F（-c，0）（c＞0）作圓x²+y²=a²的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若

OP

=2

OE

-

OF

，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  10

• B．

  10

  5

• C．

  10

  2

• D．

  5

Answer 1

分析：根據(jù)

OP

=2

OE

-

OF

，利用向量加法法則得到E為線段PF的中點，從而OE是△PFF'的中位線，得OE

∥

.

1

2

PF'．結(jié)合PF與圓x²+y²=a²相切于點E，得出PF⊥PF'且PF'=2a．利用雙曲線的定義算出PF=PF'+2a=4a，Rt△PFF'中根據(jù)勾股定理算出FF'²=20a²，可得c=

5

a，利用雙曲線的離心率公式即可算出該雙曲線的離心率．

解答：解：設雙曲線的右焦點為F'，連結(jié)PF'，
∵

OP

=2

OE

-

OF

，
∴

OE

=

1

2

（

OP

+

OF

），可得點E為線段PF的中點
∵O是FF'的中點，
∴OE是△PFF'的中位線，可得OE

∥

.

1

2

PF'
∵PF與圓x²+y²=a²相切于點E，
∴OE=a且OE⊥PF，可得PF⊥PF'且PF'=2a，
根據(jù)雙曲線的定義，得PF=PF'+2a=4a，
∴Rt△PFF'中，F(xiàn)F'²=PF²+PF'²=16a²+4a²=20a²，即4c²=20a²，得c=

5

a．
因此，雙曲線的離心率e=

c

a

=

5

．
故選：D

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求它的離心率．著重考查了向量的線性運算、勾股定理和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．