Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，△OAF的面積為

a2

2

（O為原點(diǎn)），則兩條漸近線的夾角為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)A點(diǎn)是斜率為正的漸近線與右準(zhǔn)線的交點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)雙曲線方程求得漸近線方程和右準(zhǔn)線方程，進(jìn)而把這兩個方程聯(lián)立求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，△OAF的面積以O(shè)F為底邊計算的話，其上的高就是A點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，即：

ab

c

，進(jìn)而表示出△OAF的面積建立等式求得a=b，進(jìn)而可知雙曲線漸近線的斜率，可知其垂直，進(jìn)而可推出答案．

解答：解：設(shè)A點(diǎn)是斜率為正的漸近線與右準(zhǔn)線的交點(diǎn)
雙曲線斜率為正的漸近線方程為：y=

b

a

x
而右準(zhǔn)線為：x=

a2

c

于是，漸近線與右準(zhǔn)線的交點(diǎn)A，其橫坐標(biāo)就是

a2

c

，縱坐標(biāo)可求出是：
y=

ab

c

△OAF的面積若是以O(shè)F為底邊計算的話，其上的高就是A點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，即：

ab

c

∴S△OAF=|OF|•

ab

c

•

1

2

=

ab

2c

=

ab

2

由題意有：

ab

2

=

a2

2

∴a=b
∴雙曲線兩條漸近線就是：y=±x
∴兩條漸近線相互垂直
∴它們的夾角很容易得出是90°
故答案為90°

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．從近三年高考情況看，圓錐曲線的定義、方程和性質(zhì)仍是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，平時應(yīng)注意多積累．