Question

（本小題滿分14分）已知動圓過定點，且在軸上截得弦長為．設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線方程；

（2）點為直線：上任意一點，過作曲線的切線，切點分別為、，面積的最小值及此時點的坐標.

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意利用圓的性質(zhì)，求出軌跡方程；（2）解決直線和拋物線 的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點不定，可由點斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：（1）設(shè)動圓圓心坐標為，根據(jù)題意得

， （2分）

化簡得. （2分）

（2）解法一：設(shè)直線的方程為，

由消去得

設(shè)，則，且 （2分）

以點為切點的切線的斜率為，其切線方程為

即

同理過點的切線的方程為

設(shè)兩條切線的交點為在直線上，

，解得，即

則：，即 （2分）

代入

到直線的距離為 （2分）

當時，最小，其最小值為，此時點的坐標為. （4分）

解法二：設(shè)在直線上，點在拋物線

上，則以點為切點的切線的斜率為，其切線方程為

即

同理以點為切點的方程為 （2分）

設(shè)兩條切線的均過點，則，

點的坐標均滿足方程

，即直線的方程為： （2分）

代入拋物線方程消去可得：

到直線的距離為 （2分）

所以當時，最小，其最小值為，此時點的坐標為. （4分）

考點：解析幾何的標準方程的求解，與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。