8.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊a,b,c滿足a2+ac=b2
(Ⅰ)求A的取值范圍;
(Ⅱ)若a=2,A=$\frac{π}{6}$,求△ABC的面積.

分析 (1)由余弦定理得a2-b2=c2-2bccosA,由a2+ac=b2得a2-b2=-ac,故c2-2bccosA=-ac,即cosA=$\frac{a+c}{2b}$,因?yàn)閍+c>b,所以cosA$>\frac{1}{2}$,得出A的范圍;
(2)將A=$\frac{π}{6}$和a=2分別代入a2+ac=b2和b2+c2-a2=2bccosA,聯(lián)立方程組解出b,c,使用S=$\frac{1}{2}$bcsinA求出面積.

解答 解:(1)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,∴a2-b2=c2-2bccosA,又∵a2+ac=b2,∴a2-b2=-ac.
∴c2-2bccosA=-ac,∴cosA=$\frac{a+c}{2b}$,∵a+c>b,∴cosA$>\frac{1}{2}$.∴0<A<$\frac{π}{3}$.
(2)∵a2+ac=b2,∴4+2c=b2,∵b2+c2-a2=2bccosA,∴b2+c2-4=$\sqrt{3}$bc,
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{4+2c=^{2}}\\{^{2}+{c}^{2}-4=\sqrt{3}bc}\end{array}\right.$,解得b=2$\sqrt{3}$,c=4.
S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×4×\frac{1}{2}$=2$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評 本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)$\frac{2}{1-i}$-2對應(yīng)的點(diǎn)位于( 。
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.某公司生產(chǎn)一款家用小型空氣凈化裝置的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺裝置需要增加投入200元,經(jīng)市場調(diào)研,銷售該裝置的總收益(單位:元)滿足函數(shù)R(x)=$\left\{\begin{array}{l}{500x-\frac{1}{2}{x}^{2},0≤x≤400}\\{84500+100x,x>400}\end{array}\right.$,其中x是該空氣凈化裝置的月產(chǎn)量(單位:臺).
(1)將公司月利潤f(x)表示月產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系;
(2)當(dāng)月產(chǎn)量x為何值時,公司所獲月利潤最大?并求出月利潤的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.(普通班)設(shè)動點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F($\frac{1}{2}$,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大$\frac{1}{2}$.記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)過F($\frac{1}{2}$,0)作直線m交曲線C(x≥0)于A、B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓過點(diǎn)D(0,$\frac{1}{2}$),求三角形ABD的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長均相等,且∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°,則AB1與底面ABC所成角的正弦值為( 。
A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{\sqrt{2}}{3}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{1}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.在正四棱錐P-ABCD中,PA=2,E為PC的中點(diǎn),若異面直線PA與BE所成角為45°,則四棱錐P-ABCD的高為(  )
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$C.$\sqrt{3}$D.2$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.下列等式中成立的個數(shù)是( 。伲$\root{n}{a}$)n=a(n∈N*且n>1);②$\root{n}{a}$n=a(n為大于1的奇數(shù));③$\root{n}{{a}^{n}}$=|a|=$\left\{\begin{array}{l}{a,(a≥0)}\\{-a,(a<0)}\end{array}\right.$(n為不等于零的偶數(shù)).
A.0個B.1個C.2個D.3個

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),其前n項(xiàng)和Sn=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}}{2}$(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=$\frac{121}{n+1}$(n∈N*),則當(dāng)an+bn取最小值時n=10.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.已知(a-3)${\;}^{-\frac{1}{5}}$<(1+2a)${\;}^{-\frac{1}{5}}$,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案