Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1為偶函數(shù)，且f（-1）=-1．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若函數(shù)g（x）=f（x）+（2-k）x在區(qū)間[-2，2]上單調(diào)遞減，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得b值，進(jìn)而根據(jù)f（-1）=-1，可得a值，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若函數(shù)g（x）=f（x）+（2-k）x在區(qū)間[-2，2]上單調(diào)遞減，可得區(qū)間[-2，2]在對稱軸的右側(cè)，進(jìn)而得到實數(shù)k的取值范圍
解答：解：（I）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1為偶函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱
即x=-=0，即b=0
又∵f（-1）=a+1=-1，即a=-2．
故f（x）=-2x²+1
（II）由（I）得g（x）=f（x）+（2-k）x=-2x²+（2-k）x+1
故函數(shù)g（x）的圖象是開口朝下，且以x=為對稱軸的拋物線
故函數(shù)g（x）在[，+∞）上單調(diào)遞減，
又∵函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，2]上單調(diào)遞減，
∴≤-2
解得k≥10
故實數(shù)k的取值范圍為[10，+∞）
點評：本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．