Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上，點(diǎn)到短

軸端點(diǎn)的距離是4，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是6.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

(2)若為焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，問是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 離心率  

(2) 存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值，其定值為

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及軌跡方程的求解來判定點(diǎn)是否存在。

（1）根據(jù)已知中橢圓的幾何性質(zhì)得關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，進(jìn)而解得。

（2）利用比值為定值，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用M的軌跡方程求解得到結(jié)論。

解：(1)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得

.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.……………………6分

離心率…………………………7分

 (2),設(shè)由得

……………………10分

化簡得，即……………………12分

故存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值，其定值為………13分