Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足條件f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有兩個相等的實根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]與[3m，3n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（-x+5）=f（x-3），得函數(shù)的對稱軸為x=1，又方程f（x）=x有兩相等實根，即ax²+（b-1）x=0有兩相等實根0，由此可求出a，b的值．
（2）本題主要是借助函數(shù)的單調(diào)性確定出函數(shù)在[m，n]上的單調(diào)性，找到區(qū)間中那個自變量的函數(shù)值是3m，3n，由此建立方程求解，若能解出值，說明存在，否則不存在．

解答：解：（1）∵f（-x+5）=f（x-3），∴f（x）的對稱軸為x=1，
即-

b

2a

=1即b=-2a．
∵f（x）=x有兩相等實根，∴ax²+bx=x，
即ax²+（b-1）x=0有兩相等實根0，
∴-

b-1

a

=0，
∴b=1，a=-

1

2

，
∴f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，
故3n≤

1

2

，故m＜n≤

1

6

，
又函數(shù)的對稱軸為x=1，故f（x）在[m，n]單調(diào)遞增則有f（m）=3m，f（n）=3n，
解得m=0或m=-4，n=0或n=-4，又m＜n，故m=-4，n=0．

點評：本題考點是二次函數(shù)的性質(zhì)考查綜合利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象轉(zhuǎn)化解題，（1）中通過有相等的0根這一特殊性求參數(shù)；（2）中解法入手最為巧妙，根據(jù)其圖象開口向下這一性質(zhì)，求出函數(shù)的最大值，利用最大值解出參數(shù)n的取值范圍，從而結(jié)合對稱軸為x=1得出函數(shù)在區(qū)間[m，n]單調(diào)性，得到方程組

f(m)=3m f(n)=3n

，求參數(shù)，題后應好好總結(jié)每個小題的轉(zhuǎn)化規(guī)律．