Question

7．過拋物線y=4x²的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，若y₁+y₂=5，則線段AB的長(zhǎng)為$\frac{41}{8}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可設(shè)出直線方程，然后聯(lián)立直線與拋物線消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，再由兩點(diǎn)間的距離公式表示出|AB|，將得到的兩根之和與兩根之積即可得到答案．

解答 解：拋物線y=4x²即x²=$\frac{y}{4}$焦點(diǎn)為（0，$\frac{1}{16}$），
設(shè)過焦點(diǎn)（0，$\frac{1}{16}$）的直線為y=kx+$\frac{1}{16}$，
則令kx+$\frac{1}{16}$=4x²，
即64x²-16kx-1=0，
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=$\frac{k}{4}$，x₁x₂=-$\frac{1}{64}$，
y₁=kx₁+$\frac{1}{16}$，y₂=kx₂+$\frac{1}{16}$，
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{4}$k²+$\frac{1}{8}$=5，
所以k²=$\frac{39}{2}$，
所以|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{16}+\frac{1}{16}}$=$\frac{1}{4}$×（1+$\frac{39}{2}$）=$\frac{41}{8}$．
故答案為：$\frac{41}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．