【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AC⊥AD.底面ABCD為梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC=3,點E在棱PB上,且PE=2EB. (Ⅰ)求證:平面PAB⊥平面PCB;
(Ⅱ)求證:PD∥平面EAC;
(Ⅲ)求平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)證明:∵PA⊥底面ABCD,BC底面ABCD, ∴PA⊥BC.
又AB⊥BC,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB.
又BC平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.
(Ⅱ)證明:∵PC⊥AD,
∴在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC= ,
∴∠DCA=∠BAC=
又AC⊥AD,
故△DAC為等腰直角三角形,
∴DC= AC= AB)=2AB.
連接BD,交AC于點M,則 = =2.
連接EM,在△BPD中, = =2,∴PD∥EM,
又PD/平面EAC,EM平面EAC,
∴PD∥平面EAC.
(Ⅲ)解:以A為坐標(biāo)原點,AB,AP所在直線分別為y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(0,0,0),B(0,3,0),C(3,3,0),P(0,0,3),E(0,2,1)

設(shè) =(x,y,1)為平面AEC的一個法向量,則 , ,
=(3,3,0), =(0,2,1),
解得x= ,y=﹣ ,
=( ,﹣ ,1).
設(shè) =(x′,y′,1)為平面PBC的一個法向量,則 , ,
=(3,0,0), =(0,﹣3,3),
,
解得x′=0,y′=1,
=(0,1,1).
(取PB中點為F,連接AF可證 為平面PBC的一個法向量.)
∵cos< >= =
∴平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值為
注:以其他方式建系的參照給分.

【解析】(Ⅰ)根據(jù)PA⊥底面ABCD,得到PA⊥BC,結(jié)合AB⊥BC,可得BC⊥平面PAB.最后根據(jù)面面垂直的判定定理,可證出平面PAB⊥平面PCB.(Ⅱ)利用線面垂直的性質(zhì),可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD,根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平行線分線段成比例,算出DC=2AB,從而得到△BPD中,PE:EB=DM:MB=2,所以PD∥EM,由線面平行的判定定理可得PD∥平面EAC.(Ⅲ)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AEC、平面PBC的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值.
【考點精析】認真審題,首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行),還要掌握平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點,求實數(shù)的取值范圍;

(2)當(dāng)時,若對任意的,總存在使成立,求實數(shù)的取值范圍;

(3)若的值域為區(qū)間,是否存在常數(shù),使區(qū)間的長度為?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.(柱:區(qū)間的長度為

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(2)從上述件產(chǎn)品中任取件,設(shè)為取到重量超過克的產(chǎn)品件數(shù),求的分布列與期望.

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A.
B.
C.
D.

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支持

不支持

合計

年齡不大于50歲

_______

_______

80

年齡大于50歲

10

_______

_______

合計

_______

70

100

(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù),把表格填寫完整;

(2)是否有95%的把握認為年齡與支持申辦奧運有關(guān)?

附表:,

0.100

0.050

0.025

0.010

2.706

3.814

5.024

6.635

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(1)當(dāng)甲合作社的投入為25萬元時,求兩個合作社的總收益;

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