Question

已知函數(shù)．
（I）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0且x∈[0，π]時，函數(shù)f （x）的值域是[3，4]，求a+b的值．

Answer 1

【答案】分析：把函數(shù)解析式括號中的第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，
（I）把a=1代入化簡后的函數(shù)解析式中，根據(jù)正弦函數(shù)在[2kπ-，2kπ+]時單調(diào)遞增，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）由x的范圍，求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域，根據(jù)a小于0，由正弦函數(shù)的最大值及最小值表示出函數(shù)的最大值及最小值，得到關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解集得到a與b的值，進(jìn)而求出a+b的值．
解答：解：
=a（cosx+1+sinx）+b
=asin（x+）+a+b，（2分）
（I）當(dāng)a=1時，f（x）=asin（x+）+1+b，
∴當(dāng)2kπ-≤x+≤2kπ+（k∈Z）時，f（x）是增函數(shù)，
解得：2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）；（7分）
（II）由0≤x≤π，得到≤x+≤，
∴-≤sin（x+）≤1，（9分）
∵a＜0，∴當(dāng)sin（x+）=1時，f（x）取最小值，即a+a+b=3①，
當(dāng)sin（x+）=-時，f（x）取最大值4，即b=4，
將b=4代入①式，解得a=1-，
則a+b=5-．（13分）
點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．