Question

已知雙曲線a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一個焦點(diǎn)(0，

cn

)，一條漸近線方程為y=

2

x，其中a_n是以4為首項的正項數(shù)列，數(shù)列c_n的首項為6．
（Ⅰ）求數(shù)列C_n的通項公式；
（Ⅱ）若不等式

1

c1

+

2

c2

+…+

n

cn

+

n

3•2n

＜

2

3

+loga(2x+1)(a＞0且a≠1)對一切自然數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由雙曲線方程得：C_n=a_n+a_n+1，由一條漸近線方程為y=

2

x和a_n是以4為首項的正項數(shù)列得到a_n的通項公式化簡，進(jìn)而推出數(shù)列C_n的通項公式；
（Ⅱ）先把C_n的通項公式代入到不等式左邊，錯位相減得S=

2

3

-

1

3•2n-1

-

n

3•2n

，把S代入到不等式左邊得到要使不等式對一切自然數(shù)n恒成立?

2

3

-

1

3•2n-1

＜

2

3

+loga(2x+1)(n∈N)，即要log_a（2x+1）≥0，討論a的取值得到x的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由雙曲線方程得：C_n=a_n+a_n+1，又因?yàn)橐粭l漸近線y=

2

x．
∴

an

an-1

=2，∴an=4•2n+1=2n+1
∴C_n=3•2ⁿ
（Ⅱ）令S=

1

c1

+

2

c2

+…+

n

cn

=

1

3•2

+

2

3•22

+…+

n

3•2n

由錯位相減得S=

2

3

-

1

3•2n-1

-

n

3•2n

故原不等式?

2

3

-

1

3•2n-1

＜

2

3

+loga(2x+1)(n∈N)恒成立
∴l(xiāng)og_a（2x+1）≥0
（i）當(dāng)a＞1時，2x+1≥1?x≥0
（ii）當(dāng)0＜a＜1時，

2x+1＞0 2x+1≤1

∴-

1

2

＜x≤0

點(diǎn)評：考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項公式，以及掌握雙曲線的簡單性質(zhì)，理解不等式恒成立時取到的條件，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．