Question

已知函數(shù)f(x)=log3

1-m(x-2)

x-3

的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對稱．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對稱得f（2-x）+f（2+x）=0將此式利用函數(shù)解析式代入，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）由（1）得：f(x)=log3(1+

2

x-3

)考查此函數(shù)在x∈（3，4）時(shí)，的單調(diào)性，從而求得f（x）的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對稱得f（2-x）+f（2+x）=0，（2分）
所以在其定義域內(nèi)有log3

1+mx

-x-1

+log3

1-mx

x-1

=0，（4分）
故log3

(1+mx)•(1-mx)

(1+x)•(1-x)

=0，所以m²=1．（6分）
又m=1時(shí)，函數(shù)表達(dá)式無意義，所以m=-1，此時(shí)f(x)=log3

x-1

x-3

．（8分）
（2）f(x)=log3(1+

2

x-3

)，（10分）
x∈（3，4）時(shí)，y=1+

2

x-3

是減函數(shù)，值域?yàn)椋?，+∞），（12分）
所以當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，f（x）的取值范圍為（1，+∞）．（14分）

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，解答的關(guān)鍵是運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題．