Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=

1

2

AB，E是BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EC∥平面APD；
（Ⅱ）求BP與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PA中點(diǎn)F，連接EF、FD，可得EF∥AB且EF=

1

2

AB，證明四邊形EFDC是平行四邊形，再利用直線與平面平行的
判定定理進(jìn)行證明；
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)H，連接PH，因?yàn)镻A=PD，所以PH⊥AD，可得HB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影，∠PBH是PB與平面ABCD所成角，從而求解．
（Ⅲ）在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)H作AB的垂線交AB于G點(diǎn)，連接PG，則HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，可得∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a，構(gòu)造直角三角形，求出∠PGH的正切值，即可求解．

解答：解：證明（Ⅰ）如圖，取PA中點(diǎn)F，連接EF、FD，
∵E是BP的中點(diǎn)，
∵EF∥AB且EF=

1

2

AB，
又∵DC∥AB，DC=

1

2

AB
∴EF

∥ .

.

DC
∴四邊形EFDC是平行四邊形，故得EC∥FD（2分）
又∵EC?平面PAD，F(xiàn)D?平面PAD
∴EC∥平面ADE（4分）

（Ⅱ）取AD中點(diǎn)H，連接PH，因?yàn)镻A=PD，所以PH⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD
∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影
∴∠PBH是PB與平面ABCD所成角（6分）
∵四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°
∴四邊形ABCD是直角梯形DC=CB=

1

2

AB
設(shè)AB=2a，則BD=

2

a，
在△ABD中，易得∠DBA=45°，
∴AD=

2

aPH=

PD2-DH2

=

a2- 1 2 a2

=

2

2

a，
又∵BD²+AD²=4a²=AB²，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°
∴HB=

DH2+DB2

=

1 2 a2+2a2

=

10

2

a
∴在Rt△PHB中，tan∠PBH=

PH

HB

=

2 2 a

10 2 a

=

5

5

（10分）
（Ⅲ）在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)H作AB的垂線交AB于G點(diǎn)，連接PG，
則HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，
所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a（11分）
HA=

2

2

a，又∠HAB=45°∴HG=

1

2

a
在Rt△PHG中，tan∠PGH=

PH

HG

=

2 2 a

1 2 a

=

2

（13分）
∴二面角P-AB-D的大小為arctan

2

（14分）


解法二：（Ⅰ）同解法一（4分）
（Ⅱ）設(shè)AB=2a，同解法一中的（Ⅱ）可得∠ADB=90°
如圖，以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DB所在直線為y軸，
過D點(diǎn)且垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．（5分）
則B(0，

2

a，0)，P(

2

2

a，0，

2

2

a)，則

PB

=(-

2

2

a，

2

a，-

2

2

a)，
平面ABCD的一個(gè)法向量為m=（0，0，1），（7分）
所以，cos＜

PB

，

m

＞=

PB • m

| PB |•| m |

=

- 2 2 a

3 a

=-

6

6

可得PB與平面ABCD所成角的正弦值為

6

6

所以PB與平面ABCD所成角的正切值為

5

5

（10分）
（Ⅲ）易知A(

2

a，0，0)，則

AB

=(-

2

a，

2

a，0)，
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為

n

=(x0，y0，z0)，則

n • AB =0 n • PB =0

?

- 2 ax0+ 2 ay0=0 - 2 2 ax0+ 2 ay0- 2 2 az0=0

?

y0=x0 z0=x0

，
令x₀=1，可得

n

=(1，1，1)（12分）
得cos＜

m

，

n

＞=

1

3

=

3

3

，
所以二面角P-AB-D的大小為arccos

3

3

（14分）

點(diǎn)評：此題考查直線與平面平行的判斷及直線與平面的夾角問題，此類問題一般先找出所求教，然后構(gòu)造直角三角形，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，計(jì)算時(shí)要仔細(xì)．