Question

給出如下命題：
①直線x=

π

6

是函數(shù)y=sin(x+

π

3

)的一條對稱軸；
②函數(shù)f（x）關于點（3，0）對稱，滿足f（6+x）=f（6-x），且當x∈[0，3]時，函數(shù)為增函數(shù)，則f（x）在[6，9]上為減函數(shù)；
③命題“對任意a∈R，方程x²+ax-1=0有實數(shù)解”的否定形式為“存在a∈R，方程x²+ax-1=0無實數(shù)解”；
④lg²5+lg2•lg50=1．
以上命題中正確的是

①②③④

．

Answer 1

分析：首先分析命題①因為

π

6

+

π

3

=

π

2

，所以函數(shù)y=sin(x+

π

3

)的一條對稱軸方程是：x=

π

6

．故命題①正確．
分析命題②可以根據(jù)已知條件得函數(shù)f（x）滿足f（6+x）=f（6-x），所以有函數(shù)f（x）在[6，9]的函數(shù)圖象與函數(shù)在[3，6]上的圖象關于x=6對稱，又x∈[0，3]時，函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)在[3，6]區(qū)間上也為增函數(shù)，根據(jù)圖象關系即可得出命題②正確．
分析③命題；根據(jù)命題否定的定義，對命題③的條件和結果都進行否定即可．
分析命題④，把左邊式子根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)化簡即可得到答案．

解答：解：對于①直線x=

π

6

是函數(shù)y=sin(x+

π

3

)的一條對稱軸；因為

π

6

+

π

3

=

π

2

，所以函數(shù)y=sin(x+

π

3

)的一條對稱軸方程是：x=

π

6

．故命題①正確．
對于②命題“因為函數(shù)f（x）滿足f（6+x）=f（6-x），所以有f（x）=f（12-x），
∵當x∈[0，3]時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，又函數(shù)f（x）關于點（3，0）對稱，∴函數(shù)f（x）在[3，6]上也為增函數(shù)，從而函數(shù)在[0，6]上為增函數(shù)，
∵f（x）=f（12-x），函數(shù)f（x）的對稱軸為x=

x+12-x

2

=6，
由函數(shù)的對稱性可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[6，12]上為減函數(shù)，
∴f（x）在[6，9]上為減函數(shù)；故②正確；
對于③命題“對任意a∈R，方程x²+ax-1=0有實數(shù)解”的否定形式為“存在a∈R，方程x²+ax-1=0無實數(shù)解”；
此是一個全稱命題的否定
∴命題的否定形式為：存在a∈R，方程x²+ax-1=0無實數(shù)解，故③正確；
對于④lg²5+lg2•lg50=1．因為lg²5+lg2•lg50=lg²5+lg2（lg5+1）=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1．故命題④正確．
以上命題中正確的有①②③④．
故答案為①②③④．

點評：此題主要考查函數(shù)關于點對稱，三角函數(shù)性質(zhì)問題，命題的否定形式，和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)．這類題型在高考中屬于易錯題，考查的知識點較多，同學們做題的時候需要注意．