Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（1）求證：{lga_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)Tn是數(shù)列{

3

(lgan)(lgan+1)

}的前n項和，求使Tn＞

1

4

(m2-5m)對所有的n∈N^*都成立的最大正整數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）依題意可求得a₂的值，進(jìn)而求得

a2

a1

的值，進(jìn)而看當(dāng)n≥2時，根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得

an+1

an

=10判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得a_n，進(jìn)而分別表示出lga_n和lga_n+1，根據(jù)lga_n+1-lga_n=1，判斷出lga_n}n∈N^*是等差數(shù)列．
（2）根據(jù)（1）中求得a_n利用裂項法求得T_n，進(jìn)而根據(jù)3-

3

n+1

≥

3

2

，進(jìn)而根據(jù)Tn＞

1

4

(m2-5m)求得m的范圍．判斷出m的最大正整數(shù)．

解答：解：（1）依題意，a2=9a1+10=100，故

a2

a1

=10，
當(dāng)n≥2時，a_n=9S_n-1+10①又a_n+1=9S_n+10②
②-①整理得：

an+1

an

=10，故{an}為等比數(shù)列，
且a_n=a₁q^n-1=10ⁿ，∴l(xiāng)ga_n=n∴l(xiāng)ga_n+1-lga_n=（n+1）-n=1，
即{lga_n}n∈N^*是等差數(shù)列．
（2）由（1）知，Tn=3(

1

1•2

+

1

2•3

++

1

n(n+1)

)
=3(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

)=3-

3

n+1

∴Tn≥

3

2

，
依題意有

3

2

＞

1

4

(m2-5m)，解得-1＜m＜6，
故所求最大正整數(shù)m的值為5．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生對數(shù)列基礎(chǔ)知識的綜合把握．