Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

x+b

x-b

（a＞0，a≠1，b＞0）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）討論f（x）的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0，解關(guān)于x的不等式即可得到f（x）的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，可證出f（-x）=-f（x），得f（x）為奇函數(shù)；
（3）設(shè)b＜x₁＜x₂，將f（x₁）與f（x₂）作差化簡整理，可得：當(dāng)a＞1時，f（x₁）-f（x₂）＞0；當(dāng)0＜a＜1時，f（x₁）-f（x₂）＜0，由此結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到函數(shù)在（b，+∞）上的單調(diào)性．同理可得函數(shù)在區(qū)間（-∞，-b）上的單調(diào)性，從而得到本題答案．

解答：解：（1）因為

x+b

x-b

＞0，解之得x＜-b或x＞b，
∴函數(shù)的定義域為（-∞，-b）∪（b，+∞）．…（3分）
（2）由（1）得f（x）的定義域是關(guān)于原點對稱的區(qū)間
f（-x）=log_a

-x+b

-x-b

=log_a

x-b

x+b

，
∵-f（x）=log_a（

x+b

x-b

）^-1=log_a

x-b

x+b

，
∴f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數(shù)．…（6分）
（3）證明：設(shè)b＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=log_a

(x1+b)(x2-b)

(x2+b)(x1-b)

，
∵

(x1+b)(x2-b)

(x2+b)(x1-b)

-1=

2b(x2-x1)

(x2+b)(x1-b)

＞0
∴當(dāng)a＞1時，f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x₁）＞f（x₂），f（x）在（b，+∞）上為減函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時，f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（b，+∞）上為增函數(shù)．
同理可得：當(dāng)a＞1時，f（x）在（-∞，-b）上為減函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（-∞，-b）上為增函數(shù)．
綜上所述，當(dāng)a＞1時，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上為減函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上為增函數(shù)．…（12分）

點評：本題給出含有分式的對數(shù)形式的函數(shù)，求函數(shù)的定義域并求函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性．著重考查了函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明等知識，屬于基礎(chǔ)題．