Question

△ABC的外接圓半徑為1，且滿足下列三個(gè)條件：
①； ②；  ③．
（Ⅰ）試判斷△ABC的形狀； （Ⅱ）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件①中等號(hào)右邊的第二項(xiàng)變形后，前兩項(xiàng)提取，利用平面向量的減法法則計(jì)算后，得到，根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則得到CA與CB垂直，從而得到∠C為直角，確定出三角形為直角三角形；
（Ⅱ）由條件②得到M為AB中點(diǎn)，由條件③得到C為MN中點(diǎn)，根據(jù)第一問(wèn)得到∠C為直角，故以C為原點(diǎn)，CA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出A和B的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出|AB|的長(zhǎng)，由直角三角形的外接圓半徑為1，得出斜邊長(zhǎng)為2，即|AB|=2，列出關(guān)于a與b的等式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出M及N的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出和，利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算后，把得出的a與b的等式代入即可求出值．
解答：解：（Ⅰ）由條件①知：
（3分）
∴．即CA⊥CB．
∴△ABC為直角三角形；（5分）

（Ⅱ）由條件②知M為AB的中點(diǎn)，（6分） 由條件③知C為MN的中點(diǎn)．（7分）
以C為原點(diǎn)，CA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)A（a，0），B（0，b），又△ABC的外接圓半徑為1，
則有．（8分）
∴，
∴，
∴．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形形狀及其判斷，涉及的知識(shí)有平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，平面向量數(shù)量積為0時(shí)兩向量滿足的關(guān)系，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，第二問(wèn)根據(jù)∠C為直角，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出A和B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理及直角三角形的外接圓半徑列出a與b的關(guān)系式，兩次利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出M和N的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出所求的兩向量，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算，整體代入即可求出值．熟練掌握平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．