Question

 

如圖，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).

（Ⅰ）若點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A是直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)．點(diǎn)B是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)．試判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，并給出證明．

 

Answer 1

【答案】

 本小題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．滿分12分．

解法一：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)，………………………………………1分

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即不符合題意. ……………………………2分

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，即…………3分

所以，，解得：…………5分

故直線的方程為：，即.…………6分

（Ⅱ）直線與拋物線相切，證明如下：…………7分

（法一）：設(shè)，則.…………8分

因?yàn)?sub>所以.…………9分

所以直線的方程為：，整理得:

把方程（1）代入得：，…………10分

，

所以直線與拋物線相切．…………12分

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）直線與拋物線相切，證明如下：…………7分

設(shè)，則.…………8分

設(shè)圓的方程為：，…………9分

當(dāng)時(shí)，得，

因?yàn)辄c(diǎn)B在軸負(fù)半軸，所以.…………9分

所以直線的方程為，整理得:

把方程（1）代入得：，…………10分

，

所以直線與拋物線相切．…………12分