Question

已知函數(shù)f（x）=|2x+1|，g（x）=|x-4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根把絕對(duì)不等式“大于看兩邊，小于看中間”的解答口決，可將原不等式化為2x+1＜-2，或2x+1＞2，進(jìn)而得到原不等式的解集；
（2）利用零點(diǎn)分段函數(shù)，得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得到f（x）-g（x）的最小值，最后得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）不等式f（x）＞2，
即|2x+1|＞2可化為：
2x+1＜-2，或2x+1＞2
解得x＜-

3

2

，或x＞

1

2

∴原不等式的解集為（-∞，-

3

2

）∪（

1

2

，+∞）
（2）∵f（x）-g（x）=|2x+1|-|x-4|=

-x-5，x＜- 1 2 3x-3，- 1 2 ≤x≤4 x+5，x＞4

∵當(dāng)x∈（-∞，-

1

2

）時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)x∈（-

1

2

，+∞）時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）-g（x）取最小值-

9

2

若不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集為R，
則-

9

2

≥m+1
即m≤-

11

2

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-

11

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)恒成立問題，分段函數(shù)的最值，其中熟練掌握絕對(duì)不等式“大于看兩邊，小于看中間”的解答口決，及分段函數(shù)法，是解答絕對(duì)值問題的關(guān)鍵．