Question

已知函數(shù)，（a＞0，a≠1）
（1）當a=3時，求f（x）的定義域和值域
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）當a=3時，對任意x∈R時，函數(shù)均有意義，故函數(shù)的定義域為（-∞，+∞），
而由而二次函數(shù)的知識可得-x²+2x+3=-（x-1）²+4≤4，故≤3⁴=81，
而由指數(shù)函數(shù)的值域可知＞0，故函數(shù)的值域為（0，81]
（2）由二次函數(shù)的知識可知函數(shù)t=-x²+2x+3的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為[1，+∞）．
由復合函數(shù)的單調(diào)性可知：當a＞1時，函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1]函數(shù)減區(qū)間為[1，+∞）；
當0＜a＜1時，函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為（-∞，1]；函數(shù)增區(qū)間為[1，+∞）．
分析：（1）把a=3代入可得函數(shù)解析式，易得定義域，由二次函數(shù)的值域可得f（x）的值域；
（2）先得函數(shù)t=-x²+2x+3的單調(diào)區(qū)間，再由復合函數(shù)的單調(diào)性可得答案．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，涉及函數(shù)的值域的求解和分類討論的思想，屬基礎題．