Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：若a＜5，則對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，有．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義可知定義域?yàn)榇笥?的數(shù)，求出f′（x）討論當(dāng)a-1=1時導(dǎo)函數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)a-1＜1時分類討論函數(shù)的增減性；當(dāng)a-1＞1時討論函數(shù)的增減性．
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+x，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)a的取值范圍得到導(dǎo)函數(shù)一定大于0，則g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，則利用當(dāng)x₁＞x₂＞0時有g(shù)（x₁）-g（x₂）＞0即可得證．
解答：解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．

（i）若a-1=1即a=2，則
故f（x）在（0，+∞）單調(diào)增．
（ii）若a-1＜1，而a＞1，
故1＜a＜2，則當(dāng)x∈（a-1，1）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0
故f（x）在（a-1，1）單調(diào)減，
在（0，a-1），（1，+∞）單調(diào)增．
（iii）若a-1＞1，即a＞2，
同理可得f（x）在（1，a-1）單調(diào)減，
在（0，1），（a-1，+∞）單調(diào)增．
（2）考慮函數(shù)g（x）=f（x）+x=
則
由于1＜a＜5，故g'（x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）單調(diào)增加，
從而當(dāng)x₁＞x₂＞0時有g(shù)（x₁）-g（x₂）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）+x₁-x₂＞0，故，
當(dāng)0＜x₁＜x₂時，有
點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及基本不等式證明的能力．