Question

已知函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，定義域是R．
（1）求m、n的值；
（2）若對(duì)任意t∈[-2，2]，f（tx-2）+f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，
即，解得n=1，
從而有，
又由f（1）=-f（-1）知
，
解得m=2
（2）由（1）知，
易知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（2-tx）=-f[-（2-tx）]=-f（tx-2），f（tx-2）+f（x）＞0
即f（x）＞f（2-tx）
即x＜2-tx，
即xt+x-2＜0對(duì)任意的t∈[-2，2]恒成立
∴
∴
解得：．
分析：（1）由函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)f（0）=0，f（1）=-f（-1）可得m、n的值；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合（1）中函數(shù)的奇偶性，可將不等式f（tx-2）+f（x）＞0化為xt+x-2＜0對(duì)任意的t∈[-2，2]恒成立，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)x的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性，其中（1）的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的奇偶性，（2）的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化．