已知函數(shù)f(x)=(x2-a+1)ex
(1)當a=2時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)已知x1,x2為f(x)的兩個不同極值點,x1<x2,且|x1+x2|≥|x1x2|-1,若g(x1)=f(x1)+(x12-2)ex1,證明g(x1)≤
6e2
分析:(1)確定切點,求導函數(shù),確定切線斜率,即可得到切線方程;
(2)先確定0<a≤4,再求得g(x1)=(x12-2x1-2)ex1,利用導數(shù)確定g(x1)的單調性求得最大值
6
e2
,即可證得結論.
解答:(1)解:a=2時,f(x)=(x2-1)ex,f(1)=0,即切點是(1,0)
f'(x)=2xex+(x2-1)ex=(x2+2x-1)ex,
∴k=f'(1)=2e,即切線斜率k=2e
所以,由點斜式可寫出切線方程為:y=2e(x-1),即2ex-y-2e=0
(2)證明:令f′(x)=(x2+2x-a+1)ex=0,
∵x1,x2為f(x)的兩個不同極值點
∴x1+x2=-2,x1x2=-a+1
因為|x1+x2|≥|x1x2|-1,所以2≥|-a+1|-1,所以-2≤a≤4.
又由△>0得a>0,所以0<a≤4,
又由f′(x)=(x2+2x-a+1)ex=0,x1<x2,解得x1=-1-
a

因為0<a≤4,所以x1=-1-
a
∈[-3,-1)
g(x1)=f(x1)+(x12-2)ex1=(2x12-a-1)ex1
又因為x1=-1-
a
,所以a=x12+2x1+1,所以g(x1)=(x12-2x1-2)ex1,所以g′(x1)=(x12-4)ex1,
令g′(x1)=(x12-4)ex1=0得x1=-2或2,
在區(qū)間[-3,-1)上,g(x1),g′(x1)變化狀態(tài)如下表:
x1 -3 (-3,-2) -2 (-2,-1)
g(x1 + 0 -
g′(x1 極大值
所以當x1=-2時,g(x1)取得最大值
6
e2
,所以g(x1)≤
6
e2
點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的最值,考查不等式的證明,綜合性強.
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π
4
)
的圖象關于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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(2)若關于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

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1
x

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m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調,求實數(shù)m的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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