Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)韋達(dá)定理與判別式確定二次函數(shù)根的分布，然后根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；

（2）首先求出，然后在對(duì)求出的表達(dá)式進(jìn)行切線縮放即可證明不等式.

（1）由題知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

有，

對(duì)有，

當(dāng)時(shí)，有，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，，設(shè)，

根據(jù)韋達(dá)定理有，，

當(dāng)時(shí)，

有兩個(gè)正根，，

可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，

有兩個(gè)根，，

可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，設(shè)，

根據(jù)（1）中單調(diào)性可知函數(shù)在處取極大值，處取極小值，

所以，

代入，，

整理得，

令，有，

有，

因?yàn)?/span>，

代入有.