Question

已知函數(shù)f(x)=ln

1+2x

+mx．
（1）當(dāng)m=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，設(shè)點(diǎn)A、B是函數(shù)y=f（x）（x∈[0，1]）的圖象上任意不同的兩點(diǎn)，求證：直線AB的斜率k_AB＜2．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)定義域，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定函數(shù)的最值；
（I2）當(dāng)m=1時(shí)，利用斜率的定義，構(gòu)造新函數(shù)得到函數(shù)在[0，1]上遞減，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：m=-1時(shí)，f(x)=ln

1+2x

-x
求導(dǎo)函數(shù)，可得：f′（x）=

1

1+2x

-1=-

2x

1+2x

(x＞-

1

2

 )．
令f′（x）＞0，可得-

1

2

＜x＜0，令f′（x）＜0，可得x＞0，
∴x=0時(shí)，函數(shù)取得最大值0；
（2）證明：當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=ln

1+2x

+x
設(shè)點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂
∴k_AB＜2，等價(jià)于

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2，∴f（x₂）-2x₂＜f（x₁）-2x₁
令h（x）=f（x）-2x=f(x)=ln

1+2x

-x，由（1）知它在[0，1]上遞減，
∵x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂
∴h（x₁）＞h（x₂）
即f（x₂）-2x₂＜f（x₁）-2x₁
綜上所述，當(dāng)m=1時(shí)，直線AB的斜率k_AB＜2

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查根據(jù)需要構(gòu)造新函數(shù)，考查解決問題的能力和分析問題的能力，是一個(gè)中檔題．