已知函數(shù)f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（其中a＞0，且a≠1）
（1）判斷函數(shù)f（x）-g（x）的奇偶性，并予以證明；
（2）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

解：（1）函數(shù)f（x）-g（x）是奇函數(shù)，
證明：令F（x）=f（x）-g（x）=loga（x+1）-loga（1-x）=，
由 求得-1＜x＜1，故F（x） 的定義域為（-1，1）．
再由F（-x）==-=-F（x），可得F（x）=f（x）-g（x）是奇函數(shù)．
（2）要使 f（x）+g（x）＜0成立，只要loga（1+x）（1-x）＜0．
①當(dāng)a＞1時，由loga（1+x）（1-x）＜0 可得，0＜（1+x）（1-x）＜1，解得-1＜x＜0，或 0＜x＜1，
故使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合為（-1，0）∪（0，1）．
②當(dāng) 0＜a＜1時，由loga（1+x）（1-x）＜0 可得 （1+x）（1-x）＞1，解得 x∈∅，
此時，使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合為∅．
分析：（1）令F（x）=f（x）-g（x）=，求出它的定義域為（-1，1），再由F（-x）=-F（x）可得，此函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）要使 f（x）+g（x）＜0成立，只要loga（1+x）（1-x）＜0．分a＞1和 0＜a＜1，分別解對數(shù)不等式求出x的集合．
點評：本題主要考查對數(shù)不等式的解法，對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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