Question

28、已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a₁=1，a₂=a（a為實數(shù)），且b_n=a_n．a(chǎn)_n+1，其中n=1，2，3，…
（1）求證：“若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則數(shù)列{b_n}也是等比數(shù)列”是真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題；判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

（I）因a_n是等比數(shù)列，
a₁=1，a₂=a
∴a_n=a^n-1
∵b_n=a_n．a(chǎn)_n+1，
∴

bn+1

bn

=

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=a2
∴b_n是以a為首項，a²為公比的等比數(shù)列．
（II）（I）中命題的逆命題是：若b_n是等比數(shù)列，則a_n也是等比數(shù)列，是假命題．
設(shè)b_n的公比為q則

bn+1

bn

=

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=q，(q≠0)
又a₁=1，a₂=a
∴a₁，a_3，…a_2n-1是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列，
a₂，a₄…a_2n…是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，
即a_n為1，a，q，aq，q²，aq²，
但當(dāng)q≠a²時，a_n不是等比數(shù)列，故逆命題是假命題．