Question

已知直線與圓相切，若對任意的m，n∈R⁺均有不等式2m+n≥k成立，那么正整數(shù)k的最大值是（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9

Answer 1

【答案】分析：利用圓心（3，）到直線（m+1）x+（n+）y-=0的距離等于半徑，令2m+n=t，求得t的最小值即為正整數(shù)k的最大值．
解答：解：∵直線（m+1）x+（n+）y-=0與圓（x-3）²+=5相切，
∴圓心（3，）到直線（m+1）x+（n+）y-=0的距離d等于半徑，
即d==，
∴=，
兩端平方，整理得：4m²+n²-5（2m+n）-=-6mn，
即（2m+n）²-5（2m+n）-=（4-6）mn．
∴（3-2）•2mn=+5（2m+n）-（2m+n）²≤（3-2）•，
令t=2m+n（t＞0），
則（3+2）t²-20t-25≥0，
∵△=（-20）²-4×（-25）×（3+2）=600+300，
∴t≥=，
∴t_min=∈（3，4），
∵正整數(shù)k≤2m+n=t恒成立，
∴k=3．
故選A．
點評：本題考查直線與圓的位置關系，突出考查點到直線間的距離及運算能力，考查轉化思想與方程思想的綜合應用，屬于難題．