已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x均有f（x）=kf（x+2），其中常數(shù)k＜0，且f（x）在區(qū)間[0，2]的表達式為f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值（用k表示）；
（2）寫出f（x）在區(qū)間[-3，2]上的表達式，并討論f（x）在[-3，2]上的單調(diào)性（不要求證明）；
（3）求出f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的自變量的取值．
分析：（1）根據(jù)區(qū)間[0，2]的表達式為f（x）=x（x-2），可得f（1）=-1，f（0.5），利用f（x）=kf（x+2），即可求得f（-1），f（2.5）的值；
（2）分段考慮，分以下情形：①當-3≤x≤-2時，f（x）=k2（x+4）（x+2）；②當-2＜x＜0時，f（x）=kx（x+2），從而可得結(jié)論；
（3）分類討論：f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最大值為3k2，此時x=-1；再分類討論，確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最小值，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由條件得，∵區(qū)間[0，2]的表達式為f（x）=x（x-2），∴f（1）=-1，f（0.5）=-
3
4

∵f（x）=kf（x+2），∴f（-1）=kf（1）=-k，f(2.5)=
1
k
f(0.5)=-
3
4k

（2）分段考慮，分以下情形：
情形一：當-3≤x≤-2時，有1≤x+4≤2，∴f（x+4）=（x+4）（x+2）
由f（x）=kf（x+2），得f（x）=k2f（x+4），∴此時f（x）=k2（x+4）（x+2）
情形二：當-2＜x＜0時，有0＜x+2＜2，∴f（x+2）=（x+2）x，∴此時f（x）=kx（x+2）
綜上，f(x)=
k2(x+4)(x+2)  -3≤x≤-2
k x(x+2)-2＜x＜0
x (x-2)    0≤x≤2

∵k＜0，∴f（x）在[-3，-1]和[1，2]上是增函數(shù)，在[-1，1]上是減函數(shù)．
（3）由（2）中函數(shù)f（x）在[-3，2]上的單調(diào)性可知，f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最大值為3k2，此時x=-1
當k＜-1時，f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最小值為-k2，此時x=-3
當-1＜k＜0時，f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最小值為-1，此時x=1
當k=-1時，f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最小值為-1，此時x=-3或x=1
點評：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了換元的思想、分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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