Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）．
（1）若函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）求證：．

Answer 1

解：（1）∵f'（x）=，且f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，
∴f'（x）≥0或f'（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立．…（1分）
若f'（x）≥0，∵x+1＞0，
∴2x²+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立．
即b≥-2x²-2x=-2x（x+1）在（-1，+∞）上恒成立，
∵當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，-2x（x+1）=-2
∴b≥；…（3分）
若f'（x）≤0，∵x+1＞0，
∴2x²+2x+b≤0在（-1，+∞）上恒成立．
即b≤-2（x²+x）在（-1，+∞）上恒成立．
∵-2（x²+x）在（-1，+∞）上沒有最小值，
∴不存在實(shí)數(shù)b使f'（x）≤0恒成立．…（5分）
綜上可知，實(shí)數(shù)b的取值范圍是[，+∞）． …（6分）
（2））∵
∴．
又∵．
故不等式成立．
分析：（1）根據(jù)題意，f′（x）=2x+，在（-1，+∞）上的符號(hào)只有一種，即f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，再根據(jù)函數(shù)f′（x）的特征可得在（-1，+∞）上f′（x）總有正值，f′（x）≤0不可能恒成立，解f′（x）≥0恒成立，可得b取值范圍是 ；
（2）先構(gòu)造不等式，進(jìn)行恰當(dāng)放縮：，利用這個(gè)式子進(jìn)行累加，得 ，結(jié)合 可得不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明．利用分類討論思想和不等式放縮的技巧，是解決本題的關(guān)鍵，也是思考的難點(diǎn)．