Question

在正四棱錐P-ABCD中（如圖），若異面直線PA與BC所成角的正切值為2，底面邊長AB=4．
（1）求側棱與底面ABCD所成角的大小．
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求側棱與底面ABCD所成角的大小，關鍵是找出側棱在底面ABCD上的射影．過P作斜高，則∠PAD為異面直線PA與BC所成的角，進而可求側棱與底面ABCD所成角的大小
（2）求四棱錐P-ABCD的體積，關鍵是求出底面積與高，進而利用公式求解．
解答：解：（1）過P作斜高PE，PO⊥底面ABCD，AD∥BC∴∠PAD為異面直線PA與BC所成的角θ且tanθ=2（3分）
在Rt△PEA中tanθ=2=且AE=2所以PE=4，（5分）
正四棱錐P-ABCD的高為在Rt△POA中，∴∴，
側棱與底面ABCD所成角的大小為（ 或寫成）      （7分）
（2）V_P--ABCD=（14分）
點評：本題的考點是直線與平面所成的角，主要考查側棱與底面ABCD所成角的大小，關鍵是找出側棱在底面ABCD上的射影，考查幾何體的體積，屬于中檔題．