Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大小；
（Ⅲ）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

分析：（I）欲證AO⊥平面BCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AO與平面BCD內(nèi)兩相交直線垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，滿足定理；
（II）以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，異面直線AB與CD的向量坐標，求出兩向量的夾角即可；
（III）求出平面ACD的法向量，點E到平面ACD的距離轉化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．

解答：解：（I）證明：連接OC
∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

．
而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD
（II）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（-1，0，0），C(0，

3

，0)，A(0，0，1)，E(

1

2

，

3

2

，0)，

BA

=(-1，0，1)，

CD

=(-1，-

3

，0)．
∴cos＜

BA

，

CD

＞=

BA . CD

| BA || CD |

=

2

4

，
∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos

2

4

．
（III）解：設平面ACD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n . AD =(x，y，z)．(-1，0，-1)=0 n . AC =(x，y，z)．(0 3 ，-1)=0

∴

x+z=0 3 y-z=0.

令y=1，得

n

=(-

3

，1，

3

)是平面ACD的一個法向量．
又

EC

=(-

1

2

，

3

2

，0)，
∴點E到平面ACD的距離h=

| EC . n |

| n |

=

3

7

=

21

7

．

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．