已知函數(shù)f(x)=x2+px+q,不等式f(x)<0的解集為{x|2<x<5}
(1)求實(shí)數(shù)p,q的值;
(2)若當(dāng)2≤x≤5時(shí),f(x)<x+m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若實(shí)數(shù)m>0,解關(guān)于x的不等式f(x)<mx2-6x+m+11.
解:(1)∵二次函數(shù)f(x)=x
2+px+q,當(dāng)f(x)<0時(shí),有2<x<5.
∴2,5是方程x
2+px+q=0的兩根
∴
∴p=-7,q=10;
(2)由題意知,m>x
2-8x+10在[2,5]上恒成立,
又x
2-8x+10=(x-4)
2-6,當(dāng)x=4時(shí)有最大值-2,
所以m>-2.
(3)即解不等式(m-1)x
2+x+m+1>0,m>0,
①當(dāng)m=1時(shí),x>-2;
②當(dāng)0<m<1時(shí),△>0,
<x<
;
③當(dāng)1<m<
時(shí),△>0,x<
或x>
;
④當(dāng)m=
時(shí),△=0,x
;
⑤當(dāng)m>
時(shí),△<0,x∈R.
分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)f(x)=x
2+px+q,當(dāng)f(x)<0時(shí),有2<x<5,可得2,5是方程x
2+px+q=0的兩根,利用韋達(dá)定理可求p和q的值;
(2)函數(shù)在區(qū)間上恒成立問(wèn)題,要轉(zhuǎn)化為函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題,通過(guò)求解函數(shù)的最值,列出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式,達(dá)到求解該題的目的.
(3)因?yàn)樽罡叽蝺缥恢糜袇?shù)m,故需要分類討論,利用不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象和性質(zhì)解決.
點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查解不等式,考查不等式的解集與方程解之間的關(guān)系,考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的解決思路和方法,考查函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想和方法、解不等式的思想.