Question

在四邊形 ABC D中，BC∥AD，CD∥AD，AD=4，BC=CD=2，E、P分別為AD，CD的中點（如圖1），將△ABE沿BE折 起，使二面角為A-BE-C直二面角（如圖2）．
（I）如圖2，在線段AE上，是否存在一點M，使得PM∥平面ABC？若存在，請指出點M的位置，并證明你的結論，若不存在，請說明理由．
（II）如圖2，若H為線段AB上的動點，當PH與平面ABE所成的角最大時，求二面角 H-PC-E的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由P是DC的中點，設想存在點M為AE中點，使PM∥平面ABC，只需取BE中點，由三角形中位線性質能夠證明面面平行，從而得到線面平行；
（Ⅱ）在AB上任取一動點H，連結PH，PN，由三角形知識可知當NH垂直于AB時PH與平面ABE所成的角最大，得到H位置后可以直接找二面角 H-PC-E的平面角，然后通過解直角三角形求解二面角 H-PC-E的余弦值．
本題也可以直接建立空間直角坐標系進行求解．

解答：解：法一：（Ⅰ）存在點M，當M為線段AE的中點時，PM∥平面BCA．

事實上，取EB的中點N，連接PN，MN，則MN∥BA，PN∥CB，
所以平面PMN∥平面ABC，
因為PM在平面PMN內，
所以PM∥平面ABC．
（Ⅱ）如圖，

連接PH，NH，可知PN⊥平面ABE，
所以PH與平面ABE所成角為∠PHN，
又tan∠PHN=

PN

NH

，PN=2，
所以當NH⊥AB時，PH與平面ABE所成角最大，
可得BH=

2

2

，
過H作HR⊥EB交EB于R，
則HR⊥平面BCDE，且BR=HR=

1

2

，
過R做RG⊥CD垂足為G，連接HG，
則HG⊥CD，
所以∠GHR為二面角H-PC-E的平面角，
所以在直角△HRG中tan∠HGR=

HR

RG

=

1

4

，
所以cos∠HGR=

4 17

17

，所以二面角H-PC-E的余弦值為

4 17

17

．
法二：（Ⅰ）存在點M，當M為線段AE的中點時，PM∥平面BCA，
建立如圖所示空間直角坐標系，

則A（0，0，2），M（0，0，1），P（2，1，0），B（0，2，0），C（2，2，0），
AB中點F（0，1，1），
所以

PM

=(-2，-1，1)，

BC

=(2，0，0)，

AB

=(0，2，-2)，

EF

=(0，1，1)．
可知

EF

•

BC

=0，

EF

•

AB

=0，∴EF⊥平面ABC，
又

EF

•

PM

=0，
∴PM∥平面ABC．
（Ⅱ） 可知P （ 2，1，0 ），A（0，0，2），E（0，0，0），B（0，2，0），
設H（x，y，z），則

BA

=(0，-2，2)，

BH

=(x，y-2，z)，
設

BH

=λ

BA

，則得H（0，2-2λ，2λ），
所以

PH

=(-2，1-2λ，2λ)，因為點P到平面ABE的距離為定值2，
所以當PH最小時PH與平面ABE所成角最大，
此時

PH

⊥

BA

，即

PH

•

BA

=0，得λ=

1

4

，所以H（0，

3

2

，

1

2

），
所以

BH

=(0，-

1

2

，

1

2

)，
設平面PCH的一個法向量為

n

=(x，y，z)，

PC

=(0，1，0)，

PH

=(-2，

1

2

，

1

2

)
則由

n • PC =0 n • PH =0

，可得

y=0 -2x+ 1 2 y+ 1 2 z=0

，則

n

=(

1

2

，0，2)，
平面PBE的一個法向量為

EA

=(0，0，2)，
設二面角H-PC-E的大小為θ，
則cosθ=

n • EA

| n |•| EA |

=

4 17

17

．

點評：本題考查了線面平行的判定，解答時常借助于三角形的中位線證明，考查了二面角的平面角的求法，常用“尋找垂面，構造垂線”法尋找二面角的平面角，考查了利用空間向量證明線面平行及利用空間向量求解二面角的大小，關鍵是建立正確的空間右手系，是中檔題．