Question

（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）設(shè)a₁，b₁（k=1，2…，n）均為正數(shù)，證明：
（1）若a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n≤b₁+b₂+…b_n，則…≤1；
（2）若b₁+b₂+…b_n=1，則≤…≤b₁²+b₂²+…+b_n²．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導，令導數(shù)等于零，解方程，分析該零點兩側(cè)導函數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，最終求得函數(shù)的最值；
（Ⅱ）（1）要證…≤1，只需證ln≤0，根據(jù)（I）和∵a_k，b_k（k=1，2…，n）均為正數(shù)，從而有l(wèi)na_k≤a_k-1，即可證明結(jié)論；（2）要證≤…，根據(jù)（1），令a_k=（k=1，2…，n），再利用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則即可證得結(jié)論；要證…≤b₁²+b₂²+…+b_n²，記s=b₁²+b₂²+…+b_n²．令a_k=（k=1，2…，n），同理可證．
解答：解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞），
令f′（x）=-1=0，解得x=1，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函數(shù)；
當x＞1時，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
故函數(shù)f（x）在x=1處取得最大值f（1）=0；

（II）（1）由（I）知，當x∈（0，+∞）時，有f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x-1，
∵a_k，b_k（k=1，2…，n）均為正數(shù)，從而有l(wèi)na_k≤a_k-1，
得b_klna_k≤a_kb_k-b_k（k=1，2…，n），
求和得≤a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n-（b₁+b₂+…+b_n）
∵a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n≤b₁+b₂+…b_n，
∴≤0，即ln≤0，
∴…≤1；

（2）先證≤…，
令a_k=（k=1，2…，n），則a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1=b₁+b₂+…b_n，
于是由（1）得≤1，即≤n^{b₁+b₂+…b_n}=n，
∴≤…，
②再證…≤b₁²+b₂²+…+b_n²，
記s=b₁²+b₂²+…+b_n²．令a_k=（k=1，2…，n），
則a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（b₁²+b₂²+…+b_n²）=1=b₁+b₂+…b_n，
于是由（1）得≤1，
即…≤s^{b₁+b₂+…b_n}=s，
∴…≤b₁²+b₂²+…+b_n²，
綜合①②，（2）得證．
點評：此題是個難題．本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式證明等基礎(chǔ)知識，同時考查綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想．