Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d有兩個極值點(diǎn)x₁=1，x₂=2，且直線y=6x+1與曲線y=f（x）相切于P點(diǎn)．
（1）求b和c        
（2）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（3）在d為整數(shù)時，求過P點(diǎn)和y=f（x）相切于一異于P點(diǎn)的直線方程．

Answer 1

解：（1）由題意可得：函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的導(dǎo)數(shù)為：f'（x）=3x²+2bx+c，
因為函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d有兩個極值點(diǎn)x₁=1，x₂=2，
所以3x²+2bx+c=0的兩個根為x₁=1，x₂=2，
所以2b+c+3=0，并且4b+c+12=0，
解得：b=﹣，c=6．
（2）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
由（1）可得：f'（x）=3x²﹣9x+6，
因為直線y=6x+1與曲線y=f（x）相切于P點(diǎn)，
所以f'（x₀）=6，即x₀=3或者x₀=0，
當(dāng)x₀=3時，y₀=19，所以函數(shù)y=f（x）的解析式為f（x）=x³x²+6x+．
當(dāng)x₀=0時，y₀=1，所以函數(shù)y=f（x）的解析式為f（x）=x³x²+6x+1．
（3）由題意可得：f（x）=x³x²+6x+1，并且P（0，1），
設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），所以==…①．
又因為f'（x）=3x²﹣9x+6，所以K_切=3x₁²﹣9x₁+6…②，
由①②可得：，
所以切點(diǎn)為（，），所以，
所以切線方程為15x﹣16y+16=0．
所以過P點(diǎn)和y=f（x）相切于一異于P點(diǎn)的直線方程為15x﹣16y+16=0．