Question

設(shè)f（x）=ln²x-1，g（x）=x²-2x
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）當(dāng)x＞1時，比較f（x）與g（x）的大小．

Answer 1

（1）f（x）的定義域為（0，+∞）
因為f′(x)=

2lnx

x

由f'（x）=0得x=1
當(dāng)0＜x＜1時f'（x）＜0；當(dāng)x＞1時f'（x）＞0
∴f（x）的遞減區(qū)間為（0，1），遞增區(qū)間為（1，+∞），
f（x）的極小值為f（1）=-1
（2）由f（x）-g（x）=ln²x-1-x²+2x=ln²x-（x-1）²=（lnx-x+1）（lnx+x-1）
∵x＞1
∴l(xiāng)nx+x-1＞0
令h（x）=lnx-x+1
則h′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

當(dāng)x＞1時h'（x）＜0
∴h'（x）在（1，+∞）是遞減的
∴h（x）＜h（1）=0
即  lnx-x+1＜0
∴f（x）-g（x）＜0
從而f（x）＜g（x）