已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1.

(1)設(shè)bn=an+1-2an,求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

(2)設(shè)cn=，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.

   

證明：(1)由已知，得Sn+1=4an+2,Sn+2=4an+1+2.

    兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4(an+1-an),

    即an+2=4an+1-4an,an+2-2an+1=2(an+1-2an),

    即bn+1=2bn.

∴數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.

(2)在Sn+1=4an+2中，令n=1，得S2=4a1+2=6.

    而S2=a1+a2,∴a2=5.∴bn=b1·2n-1=(a2-2a1)·2n-1=3·2n-1,即an+1-2an=3·2n-1.

∴-=,即cn+1-cn=.

∴數(shù)列{cn}是公差為的等差數(shù)列.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{
2n
an
}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數(shù)列的前n項和，且Sn與
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數(shù)列{an}的通項公式為（　�。�
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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