Question

設a、b、c都是正數(shù)，試證明不等式：

b+c

a

+

c+a

b

+

a+b

c

≥6．

Answer 1

分析：從不等式的左邊入手，左邊對應的各個分式拆成兩項，分別寫成兩兩相加的形式，在三組相加的式子中分別用均值不等式，整理成最簡形式，得到結果．

解答：證明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴

b

a

+

a

b

≥2，

c

a

+

a

c

≥2，

c

b

+

b

c

≥2
∴（

b

a

+

a

b

)+(

c

a

+

a

c

)+(

c

b

+

b

c

)≥6，
即

b+c

a

+

c+a

b

+

a+b

c

≥6．

點評：本題考查均值不等式的應用，考查不等式的證明方法，是一個基礎題，這種題目必須先進行拆項，因為原題目形式不符合均值不等式的表現(xiàn)形式．