Question

設函數(shù)f （x）=x²+ax-lnx （a∈R）
（Ⅰ） 當a=1時，求函數(shù)f （x）的極值；
（Ⅱ）當a＞1時，討論函數(shù)f （x）的單調(diào)性．
（Ⅲ）若對任意a∈（2，3）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f （x₁）-f （x₂）|成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
當a=1時，．
令f′（x）=0，得x=1．
當0＜x＜1時，f′（x）＜0；當x＞1時，f′（x）＞0．
∴f（x）_極小值=f（1）=1，無極大值…（4分）
（Ⅱ）===（5分）
當，即a=2時，，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
當，即a＞2時，令f′（x）＜0，得或x＞1；令f′（x）＞0，得．
當，即1＜a＜2時，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或；令f′（x）＞0，得．（7分）
綜上，當a=2時，f（x）在定義域上是減函數(shù)；
當a＞2時，f（x）在和（1，+∞）單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當1＜a＜2時，f（x）在（0，1）和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增�。�8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a∈（2，3）時，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴當x=1時，f（x）有最大值，當x=2時，f（x）有最小值．
∴
∴ma+ln2＞（10分）
而a＞0經(jīng)整理得
由2＜a＜3得，所以m≥0．（12分）
分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域為（0，+∞），求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f （x）的極值；
（Ⅱ）求導函數(shù)，并分解，再進行分類討論，利用f′（x）＜0，確定函數(shù)單調(diào)減區(qū)間；f′（x）＞0，確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）確定f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，可得f（x）的最大值與最小值，進而利用分離參數(shù)法，可得，從而可求實數(shù)m的取值范圍．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學思想，考查恒成立問題，解題的關鍵是確定函數(shù)的最值，利用分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍．