Question

某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋貯水池，其容積為4800m³，深為3m，如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，記該水池底面一邊的長(zhǎng)度為x m（x＞0），該水池的總造價(jià)為y元．
（Ⅰ）寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（Ⅱ）怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少元？

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別計(jì)算池底與池壁的造價(jià)，可得y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（Ⅱ）利用基本不等式，可求總造價(jià)最低及最低總造價(jià)．

解答：解：（Ⅰ）因水池底面一邊的長(zhǎng)度為xm，則另一邊的長(zhǎng)度為

4800

3x

m，--（1分）
根據(jù)題意，得y=150×

4800

3

+120（2×3x+2×3×

4800

3x

）=240000+720（x+

1600

x

）
∴所求的函數(shù)表達(dá)式為：y=720（x+

1600

x

）+240000（x＞0）-----------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=720（x+

1600

x

）+240000≥720×2

x• 1600 x

+240000-----------（9分）
=720×2×40+240000=297600．-----------（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=

1600

x

，即x=40時(shí)，y有最小值297600．
此時(shí)另一邊的長(zhǎng)度為

4800

3x

=40m（---11分）
因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40 m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元．-----------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求最值，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于中檔題．