Question

設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項和．
（1）若{a_n}為等差數(shù)列，推導(dǎo)S_n的計算公式；
（2）已知{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+2 an．求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）若{a_n}為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可推導(dǎo)S_n的計算公式；
（2）求出{a_n}的圖象公式，利用累加法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，則S_n=a₁+a₂+…+a_n=a₁+（a₁+d）+…+[a₁+（n-1）d]…（2分）
又S_n=a_n+（a_n-d）+…+[a_n-（n-1）d]，…（4分）
∴2S_n=n（a₁+a_n），…（6分）
∴Sn=

n(a1+an)

2

．  …（7分）
（2）由已知得a_n=n．
從而b_n+1=b_n+2ⁿ．
即b_n+1-b_n=2ⁿ…（9分）
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…（b₂-b₁）+b₁=2^n-1+2^n-2+…+2+1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．…（11分）
數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=b₁+b₂+…+b₂+b₁=2-1+2²-1+…+2ⁿ-1=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-2-n．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和的應(yīng)用，考查學生的運算能力．