Question

已知函數(shù)f（x）=3^x+2a-3（a是常數(shù)）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）所有的零點(diǎn)都是負(fù)數(shù)，求常數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）＜9^x對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，求常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)解析式得到函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程，變形后得到3^x=-2a+3，由指數(shù)函數(shù)在x＜0時(shí)的值域得到-2a+3的范圍，從而求出a的范圍；
（Ⅱ）把f（x）的解析式代入f（x）＜9^x，分離參數(shù)a后構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=9^x-3^x+3，配方求出函數(shù)
g（x）的最小值，則常數(shù)a的取值范圍可求．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=3^x+2a-3=0，得3^x=-2a+3，
∵y=3^x是單調(diào)函數(shù)且x∈（-∞，0）時(shí)有y∈（0，1），
∴要使函數(shù)f（x）所有的零點(diǎn)都是負(fù)數(shù)，
則0＜-2a+3＜1，解得：1＜a＜

3

2

．
∴常數(shù)a的取值范圍是(1，

3

2

)；
（Ⅱ）f（x）＜9^x對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，
即3^x+2a-3-9^x＜0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，
可轉(zhuǎn)化成2a＜9^x-3^x+3恒成立，
即2a＜（9^x-3^x+3）_min，
令g（x）=9^x-3^x+3，
則g（x）=9^x-3^x+3=（3^x-

1

2

）²+

11

4

，
∴g(x)min=

11

4

．
即2a＜

11

4

，a＜

11

8

．
∴常數(shù)a的取值范圍是（-∞，

11

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查了不等式的恒成立，訓(xùn)練了分離變量法，構(gòu)造輔助函數(shù)并求其最小值是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．